ರಲ್ಲಿ ಅಂಕಗಣಿತದ ಮತ್ತು ಬೀಜಗಣಿತದ, ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ ನ ಘನ ಅದರ ಥರ್ಡ್ ವಿದ್ಯುತ್ ಎರಡು ಬಾರಿ ಗುಣಿಸುವುದಕ್ಕೆ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು: n3 = × × . n3 = × n2. ಉದ್ದ ನ ಬದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಘನದ ಪರಿಮಾಣ ಸೂತ್ರವೂ ಇದಾಗಿದೆ, ಇದು ಹೆಸರಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ವಿಲೋಮ ಅವರ ಘನವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುವ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಹಲವಾರು ಹುಡುಕುವ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಘನಮೂಲ . ಇದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಮಾಣದ ಘನದ ಬದಿಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಮೂರನೇ ಒಂದು ಹೆಚ್ಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗ ಅಥವಾ ಇನ್ನಿತರ ಗಣಿತದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸೂಪರ್‌ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್ 3 ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ 23 = 8 ಅಥವಾ ( + 1) 3 . ವರ್ಗ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್ : → 3 (ಅಥವಾ = 3 ಸಮೀಕರಣ) ಅನ್ನು ವರ್ಗ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಘನವು ಬೆಸ ಕಾರ್ಯವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಈ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಮೂಲದಲ್ಲಿ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಆದರೆ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಅಕ್ಷಗಳಿಲ್ಲ . ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಒಂದು ಪರಿಪೂರ್ಣ ವರ್ಗವಾಗಿದ್ದು, ಒಬ್ಬರು ವರ್ಗ ಘಟಕ ವರ್ಗಗಳನ್ನು ದೊಡ್ಡದಾದ, ವರ್ಗವಾಗಿ ಜೋಡಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ ಮಾತ್ರ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 3 × 3 × 3 = 27 ರಿಂದ 27 ಸಣ್ಣ ವರ್ಗಗಳನ್ನು ರೂಬಿಕ್ಸ್ ವರ್ಗದ ನೋಟದೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ದೊಡ್ಡದಕ್ಕೆ ಜೋಡಿಸಬಹುದು. ಸತತ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ವರ್ಗಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು: n3 − ( − 1)3 = 3( − 1) + 1. ( + 1)3 − n3 = 3( + 1) + 1. ಋಣಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ವರ್ಗವು. ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಕನಿಷ್ಠ ಪರಿಪೂರ್ಣ ಘನ ಇಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, (−4) × (−4) × (−4) = −64. === ಮೂಲ ಹತ್ತು === ಪರಿಪೂರ್ಣ ವರ್ಗಗಳಿಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ, ಪರಿಪೂರ್ಣ ವರ್ಗಗಳು ಕೊನೆಯ ಎರಡು ಅಂಕೆಗಳಿಗೆ ಕಡಿಮೆ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಾಧ್ಯತೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. 5 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದಾದ ವರ್ಗಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ, ಅಲ್ಲಿ ಕೇವಲ 25, 75 ಮತ್ತು 00 ಮಾತ್ರ ಕೊನೆಯ ಎರಡು ಅಂಕಿಗಳಾಗಿರಬಹುದು, ಕೊನೆಯ ಅಂಕಿಯು ಬೆಸ ಹೊಂದಿರುವ ಯಾವುದೇ ಜೋಡಿ ಅಂಕಿಗಳು ಪರಿಪೂರ್ಣ ಘನವಾಗಬಹುದು. ಸಮ ವರ್ಗಗಳೊಂದಿಗೆ, ಸಾಕಷ್ಟು ನಿರ್ಬಂಧವಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಕೇವಲ 00, 2, 4, 6 ಮತ್ತು 8 ಮಾತ್ರ ಪರಿಪೂರ್ಣ ವರ್ಗದ ಕೊನೆಯ ಎರಡು ಅಂಕೆಗಳಾಗಿರಬಹುದು (ಇಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಬೆಸ ಅಂಕಿ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಸಮ ಅಂಕಿಗಳಿಗೆ). ಕೆಲವು ವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಚದರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿವೆ; ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 64 ಒಂದು ಚದರ ಸಂಖ್ಯೆ (8 × 8) ಮತ್ತು ವರ್ಗಸಂಖ್ಯೆ (4 × 4 × 4) . ಸಂಖ್ಯೆ ಪರಿಪೂರ್ಣ ಆರನೇ ಶಕ್ತಿಯಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಇದು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ (ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ 2 6 ). ಆದಾಗ್ಯೂ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಪರಿಪೂರ್ಣ ವರ್ಗಗಳು ಅಲ್ಲ ಎಂದು ತೋರಿಸುವುದು ಸುಲಭ, ಏಕೆಂದರೆ ಎಲ್ಲಾ ಪರಿಪೂರ್ಣ ವರ್ಗಗಳು ಡಿಜಿಟಲ್ ಮೂಲ 1, 8 ಅಥವಾ 9 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು . ಅವುಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಮಾಡ್ಯುಲೋ 9 ಕೇವಲ −1, 1 ಮತ್ತು 0 ಆಗಿರಬಹುದು. ಇದಲ್ಲದೆ, ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗದ ಡಿಜಿಟಲ್ ಮೂಲವನ್ನು 3 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಉಳಿದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು: ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು 3 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದರೆ, ಅದರ ವರ್ಗವು ಡಿಜಿಟಲ್ ರೂಟ್ 9 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ; ಅದು, ≡ 0 ( 3 ) 3 ≡ 0 ( 9 ) ; {\ {\{}}\ \ 0{\ {3}}\ {\{}}\ ^{3}\ 0{\ {9}};} 3 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಅದು 1 ರ ಉಳಿದಿದ್ದರೆ, ಅದರ ವರ್ಗವು ಡಿಜಿಟಲ್ ರೂಟ್ 1 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ; ಅದು, ≡ 1 ( 3 ) 3 ≡ 1 ( 9 ) ; {\ {\{}}\ \ 1{\ {3}}\ {\{}}\ ^{3}\ 1{\ {9}};} 3 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಅದು ಉಳಿದ 2 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅದರ ವರ್ಗವು ಡಿಜಿಟಲ್ ರೂಟ್ 8 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ; ಅದು, ≡ − 1 ( 3 ) 3 ≡ − 1 ( 9 ) . {\ {\{}}\ \ -1{\ {3}}\ {\{}}\ ^{3}\ -1{\ {9}}.} ಪ್ರತಿ ಸಕಾರಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕವನ್ನು ಒಂಬತ್ತು (ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆ) ಧನಾತ್ಮಕ ಘನಗಳ ಮೊತ್ತ ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು. ಒಂಬತ್ತು ಘನಗಳ ಈ ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 23 ಅನ್ನು ಒಂಬತ್ತು ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಧನಾತ್ಮಕ ಘನಗಳ ಮೊತ್ತ ಎಂದು ಬರೆಯಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ: 23 = 2 3 + 2 3 + 1 3 + 1 3 + 1 3 + 1 3 + 1 3 + 1 3 + 1 3 .